УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ 

АДМИНИСТАЦИИ ВЯЗНИКОВСКОГО РАЙОНА

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №4»

Исследовательская работа 

по математике, 

представленная на 4 математических чтениях, 

посвященных 470 – летию со дня рождения Франсуа Виета

по теме: « Вклад Ф. Виета в развитие алгебраической символики».

                                                                         Выполнила: ученица 9 «А» класса

МОУ СОШ № 4 г. Вязники

                                                                                          Овчинникова Анастасия

        Научный руководитель: учитель математики

Кириллова И.В.

Вязники 2010

Оглавление

Введение.                                                                                                                                                              3

Развитие алгебраической символики  Ф. Виета                                                                                                        6

Недостатки и преимущества символики Ф. Виета                                                                                                     11                                                                                        

Заключение.                                                                                                                                                          13

Библиографический список.                                                                                                                                    14

Введение.

История науки показывает, что логическая структура и рост каждой математической теории, начиная с определенного этапа ее развития, становятся все в большую зависимость от использования математической символики и ее усовершенствования.

Когда индийцы в V веке н. э. ввели знак нуля, они смогли оставить поразрядную систему счисления и развить абсолютную позиционную десятичную систему счисления, превосходство которой при счете если и не осознают, то повседневно используют сотни миллионов людей. Алгебра и аналитическая геометрия обязаны многим тому, что Виет и Декарт разработали основы алгебраического исчисления. 

В чем заключено объективное содержание математической символики? Чем объясняется значение символики в математике?

Математические знаки служат в первую очередь для точной (однозначно определенной) записи математических понятий и предложений. Их совокупность – в реальных условиях их применения математиками – составляет то, что называется математическим языком.

Использование знаков позволяет формулировать законы алгебры, а также и других математических теорий в общем виде. Примером могут послужить формулы  алгебры: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

 х1,2=  и т.п.

Математические знаки позволяют записывать в компактной форме предложения, выражение которых на обычном языке было бы крайне громоздким. Это способствует более глубокому осознанию их содержания, облегчает его запоминание.

Математические знаки используются в математике эффективно и без ошибок, когда они выражают точно определенные понятия, относящиеся к объектам изучения математических теорий. Поэтому, прежде чем использовать в рассуждениях и в записях те или иные знаки, математик старается сказать, что каждый из них обозначает. В противном случае его могут не понять.

Знаки и системы знаков играют в математике роль, весьма сходную с той, какая в более широких сферах познания и практической деятельности людей принадлежит обычному разговорному языку. Подобно обычному языку, язык математических знаков позволяет обмениваться установленными математическими истинами, налаживать контакт ученых в совместной научной работе.

Решающим, однако, является то, что язык математических знаков без обычного языка существовать не может. Обычный (естественный) язык содержательнее языка математических знаков; он необходим для построения и развития языка математических знаков. Язык математических знаков только вспомогательное средство, присоединяемое к обычному языку и используемое в математике и в областях, где применяются ее методы.

Возможность использования языка знаков в математике обусловлена особенностями предмета ее исследований – тем, что она изучает формы и отношения объектов реального мира, в известных границах безразличные к их материальному содержанию. Существенна при этом и специфика математических доказательств. Математическое доказательство состоит в построении цепи высказываний, начальным звеном которой являются истинные исходные предложения, конечным – доказываемое утверждение. Промежуточные звенья цепи получаются в конечном счете из начального и соединяются с ним и конечным звеном с помощью законов логики и правил логического вывода. Если исходные утверждения записаны в символической форме, то доказательство сводится к их «механическим» видоизменениям.

Целесообразность, а в наше время и необходимость – использования языка знаков в математике обусловлена тем, что при его помощи можно не только кратко и ясно записывать понятия и предложения математических теорий, но и развивать в них исчисления и алгоритмы – самое главное для разработки методов математики и ее приложений. Достичь этого при помощи обычного языка если и возможно, то только в принципе, но не в практике.

Достаточная оперативность символики математической теории существенно зависит от полноты символики. Это требование состоит в том, что символика должна содержать обозначения всех объектов, их отношений и связей, необходимые для разработки алгоритмов теории, позволяющих решать любые задачи из классов однотипных задач, рассматриваемых в этой теории.

«…Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид…»

                                                                                                     Ф. Виет.

Виета называют творцом современной алгебры за очень важное нововведение – он целеустремленно и последовательно применял в алгебре буквенное исчисление. Чтобы отчетливее представить себе, в чем суть буквенного исчисления Виета и почему оно так важно для всей современной алгебры, посмотрим, что представляла алгебра до него. Почти все действия и знаки записывались словами, не было и намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми сейчас умеет пользоваться каждый ученик. Поэтому нельзя было записывать и, следовательно, изучать в общем виде алгебраические уравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми  числами, которые от этих самых чисел не зависят.

Виет и его последователи установили, что не имеет значения,  будет рассматриваемое число количеством предметов или длиной перпендикуляра. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Не имеет значения также, известно ли нам число или числа, то все числа как бы однородны и их можно обозначить какими-нибудь отвлеченными знаками, например буквами латинского алфавита. Виет не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Это была удачная мысль, и она стала сразу приносить обильные плоды. Например, вскоре был доказан общий алгебраический закон умножения: умножение отрезков есть та же операция, что и умножение чисел. Появилась возможность записывать алгебраические выражения в виде формул. 

Виет различал видовую логистику и числовую логистику. Термин «логистика» означает совокупность арифметических приемов вычислений, «вид» имел смысл символа.

Видовая логистика Виета после внесенных им в символику усовершенствований представляла собой буквенное исчисление. Ее объектами служат геометрические и псевдогеометрические образы, связанные между собой различными соотношениями. Виет был последователем древних: он оперировал такими величинами, как сторона, квадрат, куб, квадратоквадрат, квадратокуб , и т. д., образующими своеобразную лестницу скаляров. Действия над скалярами у Виета, как и у древних геометров, подчинены «закону однородности»: составленные из неизвестных и известных величин уравнения должны быть однородными относительно всех их вместе взятых. Умножению чисел у Виета соответствует образование нового скаляра, размерность которого равна сумме размерностей множителей. Операция, соответствующая делению чисел, дает новую величину, размерность которой равна разности размерностей.

Виет разработал символику, в которой наравне с обозначением неизвестных впервые появились знаки для произвольных величин, называемых в настоящее время параметрами. Для обозначения скаляров он предложил пользоваться прописными буквами: «искомые величины будут обозначены буквой А или другой гласной Е, I, О, U, Y, а данные – буквами B, D, G или другими согласными»

Однако  у самого Виета алгебраические обозначения, или, как сейчас говорят, алгебраические символы, были мало похожи на наши. Сравните современную запись кубического уравнения  и запись этого же уравнения в обозначениях Виета: A cubus+ B planum in A 3 aequatur D solido. Как видите, здесь еще очень много слов, но ясно, что эти слова уже играют роль наших символов; так, латинское слово cubus после неизвестного A (неизвестное обозначалось гласной буквой) означает наше «в кубе». Слово, aequatur (в переводе на русский –«равный») написано вместо нашего знака «=», умножение чисел А и В обозначено предлогом in (все, что осталось после сокращения от выражения «взять во столько-то раз больше»). Остальные слова – это следы прошлого, следы того, что у Виета алгебра еще не полностью освободилась от посторонних для нее влияний геометрии. 

Но уже такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой его имени, обнародованной в 1591 году, о выражении коэффициентов уравнения через его корни, хотя под корнями он понимал только положительные числа, не признавал за корни отрицательные и совсем не подозревал о существовании комплексных чисел. Сам автор формулировал ее так: «Если B+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно BD, то А равно В и равно D». Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены  любой степени.

При составлении обширных таблиц тригонометрических функций Виет с большим искусством применил десятичные дроби. Глубокий интерес к тригонометрии у него был вызван желанием сделать астрономию более точной.

Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Увлекшись тригонометрией, Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор.

Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

Эти знания из тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре, так и в геометрии. Используя представление о круге как о пределе вписанных в него многоугольников при увеличении числа их сторон, Виет вычислил число ПИ до 18-го знака после запятой (из них 11 знаков верны).

Умение решать алгебраические задачи при помощи геометрии и тригонометрии принесло Виету славу победителя турнира лучших математиков того времени. Голландский математик Адриан ван-Роумен предложил математикам всего мира решить уравнение 45-й степени с числовыми коэффициентами. Французским математикам он не послал свой вызов, как бы намекая на то, что во Франции нет математиков, способных справиться с этой задачей. Узнав об этом, король Франции Генрих IV, на службе у которого в то время состоял Виет, воскликнул: «И все же у меня есть математик, и весьма выдающийся. Позовите Виета!» И действительно, Виет тут же, в присутствии короля, нашел один корень предложенного уравнения, а на следующий день нашел еще 22 его положительных корня. После этого Ван-Роумен стал ревностным почитателем Виета.

Виет решил при помощи циркуля и линейки знаменитую задачу, сформулированную геометром Древней Греции Аполлонием из Перги. По условию этой задачи надо построить круг, касательный к трем данным кругам. Гордясь найденным решением, Виет называл себя «Аполлонием из Галлии» (Галлией в старину называли Францию).

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ля Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «… 14 февраля 1603 г. Господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер в Париже. Ему было более шестидесяти лет».

    Созданные Виетом псевдогеометрические объекты предоставили ему формальную возможность спокойно применять к ним операции умножения и деления, соответственно складывая или вычитая при этом их размерности. И все же, даже такое смелое нововведение не решает всех проблем. Виет, как и многие математики того времени, преклонялся перед античностью и считал себя продолжателем ее традиций. Поэтому он развивал идеи античной геометрической алгебры, и у него сохраняется привычный для нее принцип однородности. Согласно этому принципу складывать и вычитать можно лишь величины одинаковой размерности, отрезки с отрезками, квадраты с квадратами и т.д.  Такое ограничение существенно препятствует установлению аналогии с числами, поскольку любые две степени, скажем, квадрат одного числа с кубом другого, мы всегда можем сложить и получить при этом число. Геометрическая алгебра Виета или его алгебра-для-геометрии далеко не то же самое, что числовая алгебра или алгебра-для-арифметики. Геометрическая величина у Виета по-прежнему отдалена от числа.

     Символика Виета страдала недостатками, в некоторых отношениях она была менее совершенна, чем у его предшественников и современников. Виет для записи действий употреблял слова: in у него означало умножение,  aequatur заменяло знак равенства. Словами же выражались степени различных величин. Для трех низших степеней он взял названия из геометрии, например, А3 называл Acubus. Высшим степеням он давал геометрические наименования, происходящие от низших: А9, например,— Acubo-cubo-cubus. Известная величина В представлялась как величина девятой степени записью solido-solido-solidum. Если сторона (latus) умножается на неизвестную величину, то она называется содействующей) (coefficiens) при образовании площади.

     Неудобства символики Виета связаны и с требованием однородности. Как и древние греки, Виет считал, что сторону можно складывать только со стороной, квадрат –  с квадратом, куб – с кубом и т. д. В связи с этим возникал законный вопрос: имеют ли право на существование уравнения выше третьей степени, поскольку в пространственном мире четвертая, пятая и т. д. степени аналогов не имеют.

      Преимущества символики предоставили Виету возможность не только получить новые результаты, но и более полно и обоснованно изложить все известное ранее. И если предшественники Виета высказывали некоторые правила, рецептуры для решений конкретных задач и иллюстрировали их примерами, то Виет дал полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений первых четырех степеней.

Алгебраисты завершили символическое оформление своей науки и пробовали формулировать и решать проблемы общей теории алгебраических уравнений. Тригонометрия отделилась от астрономии, ее результаты получили достаточную степень общности. Полностью освоено геометрическое наследие древних. Математика постоянных величин к концу XVI века завершала цикл своего формирования.

Центр тяжести научных исследований сместился в область переменных величин. В математике наступал новый период.

      Непосредственно применение трудов Виета очень затруднялось тяжелым и громоздким изложением. Из-за этого они полностью не изданы до сих пор. Более или менее полное собрание трудов Виета было издано в 1646 году в Лейдене нидерландским математиком  ван  Скоотеном под названием «Математические сочинения Виета». Г. Г. Цейтен отмечал, что чтение работ Виета затрудняется несколько изысканной формой, в которой повсюду сквозит его большая эрудиция, и большим количеством изобретенных им и совершенно не привившихся греческих терминов. Потому влияние его, столь значительное по отношению ко всей последующей математике, распространялось сравнительно медленно.  Бурно развивающаяся математика наших дней, конечно, использует идеи и методы, во много раз превосходящие по глубине и общности идеи и методы, которые развивал Виет. Но и сейчас для нас интересна и ценна острая  алгебраическая мысль Виета, который широко распахнул перед математикой двери в новый мир современной алгебры. Не будем забывать, что в ее основе лежит буквенное исчисление Франсуа Виета. 

Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. М.: Наука, 1981. 

     Квант. 1976. №9. 

Никифоровский В.А. В мире уравнений. М.: Наука, 1987.

Глав. ред. М. Д. Аксенова. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.

Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.

Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., издательство иностранной литературы. 1963.

Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., «Наука». 1966.

Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., «Наука». 1967.

Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. Под ред. В.Н. Молодшего. М., «Просвещение», 1964.

Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика». 1989.