Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 7 г. Соль – Илецка Оренбургской области»
Муниципальное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр детского творчества Соль – Илецкого района Оренбургской области»
Решение квадратных уравнений различными способами.
Работа ученицы 9б класса, члена ДТО «Юный математик» при Центре детского творчества Соль – Илецкого района Андреева Ксения.
Проверила : учитель математики школы № 7, руководитель ДТО «Юный математик» Кузнецова Надежда Васильевна.
г. Соль – Илецк 2007г.
Содержание работы:
1. Определение квадратного уравнения, его виды ________________стр. 3
2. Из истории квадратных уравнений __________________________стр. 4
3. Различные способы решения квадратных уравнений: 1) Разложение левой части уравнения на множители ________________стр. 6 2) Метод выделения полного квадрата ____________________________стр. 6 3) Решение квадратных уравнений по формуле _____________________стр. 7 4)Решение уравнений с использованием теоремы Виета _____________ стр. 8 5) Решение уравнений способом переброски _______________________стр. 9 6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения ________________стр. 10 7) Графическое решение квадратного уравнения __________________ стр. 13 8) Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки _________________________________________стр. 14 9) Решение квадратных уравнений с помощью номограммы _____________________________________________стр. 18 10) Геометрический способ решения квадратных уравнений _________стр. 20
4. Дидактический материал __________________________________стр. 22
5. Литература _______________________________________________стр. 24
1. Определение квадратного уравнения, его виды.
Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.
Если в квадратном уравнении ах2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0; 2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0; 3) ах2 = 0.
2. Из истории квадратных уравнений.
а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: х2 + х = , х2 – х = 14 Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
б) Квадратные уравнения в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах2 + bх = с, а > 0 В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим. в) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2 + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
3. Различные способы решения квадратных уравнений.
1) Разложение левой части уравнения на множители.
● Примеры.
1. Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители: х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2). Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х – 2) = 0.
Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.
2) Метод выделения полного квадрата
Поясним этот метод на примере. ● Пример
Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0
Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде: х2 + 6х = х2 + 2· х ·3. В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2 . Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х – 7 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем: х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 = (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х = 3 = 4, х1 = 1, или х +3 = - 4 , х2 = – 7.
3) Решение квадратных уравнений по формуле
Вывод формулы:
Умножим обе части уравнения
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0,
на 4а и следовательно имеем:
4а2х2 + 4аbс + 4ас = 0. ((2ах)2 + 2ах · b + b2) – b2 + 4ас = 0, (2ах + b)2 = b2 – 4ас, 2ах + b = ± 2ах = – b ±
Х1,2 =
● Примеры Решим уравнения:
а) 4х2+ 7х + 3 = 0. а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >два разных корня; х = , х = ; х = , х1 = , х = , х2 = –1 Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т. е. при b2 – 4ас≥0 уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня. б) 4х2 – 4х + 1 = 0,
а =4, b= - 4, с = 1. D = b2 – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0, D = 0, один корень; х= Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. = b2 – 4ас= 0, то уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень, х = в) 2х2 +3х + 4 = 0, а =2, b= 3, с = 4, D = b2 – 4ас= 9 – 4∙2∙4 =9 – 32 = - 13, D < 0. Уравнение не имеет корней. Итак, если дискриминант отрицателен, т. е. = b2 – 4ас< 0, то уравнение ах2+ bх + с = 0 не имеет корней.
4) Решение уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)
а) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + px + q = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней). а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны...ПРОДОЛЖЕНИЕ В ФАЙЛЕ
| 