Содержание

Введение…………………………………………………………………………………….....3

1. Теоретическая часть………………………………………………………………………5

1.1. Классификация фракталов……………………………………………………...5

1.1.1. Геометрические фракталы…………………………………………….5

1.1.2. Алгебраические фракталы…………………………………………….6

1.1.3. Стохастические фракталы…………………………………………….6

1.2. Размеренность фрактала………………………………………………………..7

1.3. Применение фракталов………………………………………………………….7

Заключение…………………………………………………………………………………...14

Список  литературы…………………………………….............................................................15

ВВЕДЕНИЕ

В повести  «Алиса в Стране чудес» Чарльза Латуиджа Доджсона, с девочкой происходит целый каскад превращений. Она, то увеличивается до невероятных размеров, то уменьшается до величины кролика. Любопытно, что в одних случаях окружающие ее предметы не претерпевают никаких изменений, в других -  становятся миниатюрными.

Идею самоподобия малого в большом высказывали не только сказочники. Известный немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) рискнул предложить, что внутри  капли воды могут  умещаться целые вселенные со своими планетами, на которых предаются важным размышлениям философы, такие же, как и на нашей Земле.

Самоподобные фигуры есть в геометрии. Такой фигурой считают ту,  которую можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой.  Но геометрия не способна описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Многие природные объекты настолько  фрагментированы, что по сравнению со стандартной геометрией Евклида природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. И здесь нам на помощь приходят фракталы.

Фракталы – это геометрические объекты с удивительными свойствами: любая часть фрактала содержит его уменьшенное изображение. То есть, сколько фрактал не увеличивай, из любой его части на нас будет смотреть его маленькая копия. Кроме самоподобия, фракталы замечательны еще и тем, многие из них удивительно похожи на то, что мы встречаем в природе: снежинку, морского конька, ветви деревьев, разряд молнии и горные массивы. Поэтому многие современные ученые говорят, что природа имеет свойство фрактальности.

Объект исследования: фрактальные множества.

Гипотеза: современное программное обеспечение позволяет строить фрактальные множества более простыми методами.

Цель: разработать способ  лёгкого представления сложных  объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Методы исследования: частично-поисковый, исследовательский, сравнительный анализ, синтез, моделирование.

Задачи:

1.      Анализировать литературу о возникновении, определении, видах фракталов, понятии фрактальной размерности.

2.      Классифицировать фрактальные множества (на основе изучения научной литературы).

3.      Изучить области применения фракталов в современном мире.

4.      Изучить среду программирования Turbo Pascal.

5.      Разработать программы: построения фрактала Серпиньского с заданным числом итераций; построения заданного числа вписанных квадратов, вершины каждого из которых будут серединами сторон предыдущего квадрата; построения снежинки с вводимым числом ветвлений.

Актуальность: Интерес к проблеме обусловлен возросшей ролью фракталов в машинной графике. Они незаменимы при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Красота мира фракталов привлекает многих — от художников, и модельеров до биологов, физиков и математиков. В своей работе я попытаюсь ответить на вопрос «Что такое фрактал?» и рассказать об областях применения фракталов в современном мире.

Исследование: изучение программного обеспечения для построения фрактальных множеств, разработка программ, позволяющих построить некоторые фрактальные множества.

Результат исследования: разработаны программы: построения фрактала Серпиньского с заданным числом итераций; построения заданного числа вписанных квадратов, вершины каждого из которых будут серединами сторон предыдущего квадрата; построения снежинки с вводимым числом ветвлений.

Научная новизна: исследование фрактальных множеств, разработка программного продукта построения фракталов с указанным числом итераций.

Практическая значимость: использование полученных программ построения фракталов на уроках математики и на факультативных занятиях по этому предмету.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1. Классификация фракталов

Когда размерность фигуры получаемой из каких-то простейших объектов (отрезков) больше размерности этих объектов - мы имеем дело с фракталом.

В основном фракталы делятся на геометрические, алгебраические и стохастические. Однако существуют и другие классификации:

·           Рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учеными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования — то есть максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

·           Детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стахостические).

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это: геометрические фракталы, алгебраические фракталы, стохастические фракталы.

1.1.1. Геометрические фракталы

Геометрические фракталы — самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков или генератор, на основании которого будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

На рисунке ниже приведены примеры геометрических фракталов (слева направо Снежинка Коха (рис.1), Лист (рис.2), Треугольник Серпиньского (рис.3)).

1.1.2. Алгебраические фракталы

Вторая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

1.    С течением времени стремится к бесконечности.

2.    Стремится к 0

3.    Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.

4.    Поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике - множеству Мандельброта (рис.14).

Это — нелинейные, квадратичные фракталы, комплексные динамические системы, генерируемые бесконечным повторением (итерацией) алгебраических функций или систем функций, причем значение вычисленной функции при следующей операции подставляется как аргумент.

1.1.3. Стохастические фракталы

Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма" (рис.18).

 Рисунок 18

Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ (рис.19).

1.2. Размеренность фрактала

В своей повседневной жизни мы постоянно встречаемся с размерностями. Мы прикидываем длину дороги (250 м), узнаем площадь квартиры (78 м²). Это понятие вполне интуитивно ясно и, казалось бы, не требует разъяснения. Линия имеет размерность 1. Это означает, что, выбрав точку отсчета, мы можем любую точку на этой линии определить с помощью 1 числа - положительного или отрицательного. Причем это касается всех линий - окружность, квадрат, парабола и т.д.

Размерность 2 означает, что любую точку мы можем однозначно определить двумя числами. Не надо думать, что двумерный - значит плоский. Поверхность сферы тоже двумерна (ее можно определить с помощью двух значений - углов наподобие ширины и долготы).

Если смотреть с математической точки зрения, то размерность определяется следующим образом: для одномерных объектов - увеличение в два раза их линейного размера приводит к увеличению размеров (в данном случае длинны) в два раза (2^1).

Для двумерных объектов увеличение в два раза линейных размеров приводит к увеличению размера (например, площадь прямоугольника) в четыре раза (2^2).

Для 3-х мерных объектов увеличение линейных размеров в два раза приводи к увеличению объема в восемь раз (2^3) и так далее.

1.3. Применение фракталов

Генерация изображений природных объектов (рис.20). Геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т. д. Алгебраические и стохастические - при построении ландшафтов, поверхности морей, карт раскраски, моделей биологических объектов и др.

Механика жидкостей. Фракталами хорошо описываются следующие процессы, относящиеся к механике жидкостей и газов:  динамика и турбулентность сложных потоков; моделирование пламени; изучение пористых материалов, в том числе в нефтехимии.

Биология: Моделирование популяций;  биосенсорные взаимодействия;  процессы внутри организма, например, биение сердца.

Фрактальные антенны. Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Сжатие изображений. Существуют алгоритмы для сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на теореме Банаха о снимающих преобразованиях и являются результатом работы исследователя Технологического института шт. Джорджия Майкла Барнсли. Идея заключается в следующем: предположим,  что исходное изображение является неподвижной точкой некоего сжимающего отображения. Тогда можно место самого изображения запомнить каким – либо образом это отображение, а для восстановления достаточно: многократно применить это отображение к любому стартовому изображению.

Масштабирование. Масштабирование - уникальная особенность, присущая фракталам. Со временем ее, видимо, будут активно использовать как в специальных алгоритмах масштабирования, так и во многих приложениях. Действительно, этого требует концепция "приложение в окне". Было бы неплохо, если бы изображение, показываемое в окне 100х100, хорошо смотрелось при увеличении на полный экран - 1024х768.

 Сочинение музыки на основе фрактальных объектах. Программы, моделируют сочинение музыки на основе фрактальных объектов. Одну из наиболее известных подобных программ – MusiNum – разработал Ларс Киндерман. Модули программы позволяют делать выбор голосов, устанавливать темп композиции, задавать сценарий, который позволяет изменять параметры синтеза музыки в процессе исполнения композиции. Можно выбрать характер звучания, панораму и громкость голоса.

Программа MusiNum генерирует последовательность целых чисел, на их основе формирует фракталы, которые и преобразует в музыку. Это означает, что каждый отдельно взятый фрагмент музыки будет с одной стороны неповторимым, а другой - чем-то похожим на остальные фрагменты.

Использование в быту. Фракталы дешевы и привлекательны. Эти свойства привлекли производителей полового покрытия. Например: ковру Серпиньского требуется только 78.12 квадратных футов материала, чтобы покрыть 100 квадратных футов площади пола. Требуя меньшего количества материала, ковер Серпиньского меньше стоит. Конечно, в нем есть отверстия. Но эти отверстия формируют действительно изящный рисунок. Так что ковер Серпиньского еще и привлекателен. Дешевый и привлекательный. Вы не сможете это оспорить.

Технический анализ финансовых рынков. Финансовый рынок в развитых странах мира  существует уже  не одну сотню лет. В течение веков   люди покупали ценные бумаги по одной цене и продавали, когда они становились дороже. Так происходило до тех пор, пока американский финансист,  Чарльз Доу  не  заметил, что цены на акции подвержены циклическим колебаниям: после продолжительного роста следует  продолжительное падение, потом опять рост и падение. Он рассчитал, что можно прогнозировать дальнейшее  поведение цены на акции, если известно ее направление за  какой-то последний период. Впоследствии  на основе сделанных Ч.Доу открытий была разработана целая теория    технического анализа финансового рынка,  которая получила название Теория Доу.   Эта теория ведет свое начало  с девяностых годов девятнадцатого века, когда Ч.Доу  опубликовал свои статьи. Технический анализ рынков -  это методы прогнозирования дальнейшего поведения тренда цены, основанные на знании предыстории  его поведения. Технический анализ  для прогнозирования использует математические свойства  трендов, а не экономические показатели  ценных бумаг.

В середине XX века, когда весь научный  мир увлекался только что появившейся теорией фракталов,  другой известный американский финансист  Ральф Эллиот  предложил свою теорию  поведения  цен на акции, которая была  основана на использовании теории фракталов.       Эллиот исходил из того, что  геометрия фракталов имеет место быть не только в живой природе, но и   в общественных процессах.  К общественным процессам он относил и  торговлю акциями на бирже.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В  моей работе приведены далеко не все  области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов.  Хотелось бы только сказать, что  со времени  возникновения теории прошло  не более  трети века, но за это время фракталы  для многих исследователей стали  внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять   эволюцию галактик и  развитие клетки, возникновение гор и  образование облаков,  движение цен на бирже и развитие общества  и семьи.  Может быть,    в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком  бурным и попытки все объяснять с помощью  теории фракталов  были неоправданными.  Но, без сомнения, данная теория имеет право на существование, и я сожалею, что в последнее время  она как-то забылась  и осталась уделом избранным.  При подготовке данной работы мне было очень интересно  находить применения теории на практике. Потому что очень часто возникает такое ощущение, что теоретические знания  стоят в стороне от  жизненной реальности.

Важным помощником при изучении фракталов является компьютер.

Компьютер - это новое средство познания. Он позволяет увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас. В истории открытия фракталов это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и обогатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки. Там, где предыдущие поколения ученых были вынуждены упрощать свои уравнения или вообще отказываться от них, мы можем увидеть их суть на экране дисплея. Естественные процессы, представленные графически, можно постичь во всей их сложности, опираясь на нашу интуицию. При этом стимулируются новые идеи, новые ассоциации, и у каждого, кто мыслит в образах, пробуждается творческий потенциал. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Компьютеры становятся все мощнее, и все более тонкие эффекты они позволяют нам наблюдать на экране дисплея. Нас ждет еще много интереснейших и необычайных находок. 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1.      Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/глав. Ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 2002. — 688 с.

2.      Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества,/Фракталы в физике — М.: Мир. — 672 с.  

3.      Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. — М.: Мир, 1993. — 176 с.

4.      Федер Е. Фракталы./ Пер. с англ. — М.: Мир, 1991.— 262 с.

5.      Калнин Н. А. Алгебра и элементарные функции. — М.: издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1975, — 448с.

6.      Колесников А., Гинзбург В. Турбо Паскаль 7.0. — Киев. Торгово – издательское бюро BHV, 1996. — 446с.

7.      Эрбс Э., Штольц О. Введение в программирование на языке Паскаль М.: Мир. 1989, — 299 с.

8.      Тимошевская Н., Перышкина Е. Основы алгоритмизации и программирования на языке Pascal. Томск: Школьный университет, 2005. – 135c.   

9.      http://www.fract.narod.ru

10.  http://www.fractals.chat.ru

11.  http://www.petelin.ru

12.  http://www.cybersant.ru

13.  http://www. sins.xaoc.ru